PER PRELEVARE IL FILE

 

 

RADICI DELLE EQUAZIONI DI GRADO “n”

 

PROCEDIMENTO

 

Per calcolare aritmeticamente le radici reali di un’equazione di grado n :

1    con la formula di convergenza si calcola la prima radice;

2    successivamente con le formule si calcolano i coefficienti della ridotta;

3        quindi con la relativa convergente si calcola la prima radice della ridotta, cioè la seconda radice della primaria;

4        quindi si passa ai coefficienti della successiva ridotta, continuando come ai punti 1), 2) e 3 fino ad avere tutte le radici della primaria.

 

Si abbia la generica equazione di ennesimo grado nella forma:

 

1)

 

Chiamiamo convergente di grado n la 2):

 

2)

 

Calcoliamo ordinatamente in sequenza (catena) la 2) nei valori a partire da:

3)

finché

4)

 

Allora si ha la prima radice:

 

5)

 

Per ottenere la ridotta di un grado contenente le successive radici

calcoliamone i coefficienti con le formule:

 

6)

 

Avremo così la ridotta:

 

7)

 

che con la relativa convergente ci permetterà di calcolare la successiva radice

e quindi procedendo analogamente potremo calcolarci le altre radici.

 

CALCOLO DELLE RADICI DI EQUAZIONE DI 5° GRADO

 

Si abbia la generica equazione di 5° grado nella forma:

 

1)

 

posto:

2)

 

la convergente ad una delle radici dell’equazione di 5° grado è:

 

3)

 

Sviluppando in serie tale espressione finché

 

4)

 

otteniamo che  è una delle radici dell’equazione di 5° grado:

 

 

ESEMPIO NUMERICO:

5)

 

Valori di convergenza della 3) a partire dalla 2):

 

Innesco

Innesco rapido

 

 

6)

 

 

7)

 

 

Otteniamo così che:

 

8)

 

che è la prima delle radici della 1)

Per ottenere la ridotta di 4° grado calcoliamone i coefficienti con le formule:

9)

 

e quindi la ridotta di 4° grado che ci permetterà di calcolare la successiva radice:

 

10)

 

11)

 

la convergente ad una delle radici della 10) è:

 

12)

 

Valori di convergenza della 12) a partire dalla 13):

 

 

Innesco

Innesco rapido

 

 

13)

 

 

14)

 

 

 

Otteniamo così che:

15)

 

che è la seconda delle radici della 1)

 

 

Per ottenere la ridotta di 3° grado calcoliamone i coefficienti con le formule:

16)

 

e quindi la ridotta di 3° grado che ci permetterà di calcolare la successiva radice:

 

17)

 

18)

 

la convergente ad una delle radici della 18) è:

 

19)

 

Valori di convergenza della 18) a partire dalla 20):

 

Innesco

Innesco rapido

 

 

20)

 

 

21)

 

 

Otteniamo così che:

22)

 

che è la terza delle radici dell’esempio.)

 

 

Per ottenere la ridotta di 2° grado calcoliamone i coefficienti con le formule:

 

23)

 

e quindi la ridotta di 2° grado che ci permetterà di calcolare le ultime 2 radici:

 

24)

25)

26)

27)

 

Va notato che se durante i calcoli la convergente non va verso un unico valore vuol dire che vi è una radice complessa coniugata.

È possibile trovare le eventuali radici reali residue facendo delle traslazioni preliminari fittizie con ad esempio  e quindi tentare la soluzione.

 

FORMULE DELLE CONVERGENTI FINO AL 10° GRADO

 

Valore iniziale per i calcoli di convergenza:

2)

(In pratica si usa la formula:  che si avvicina prima alla radice.)

Convergente di 3° grado

 

Convergente di 4° grado

 

Convergente di 5° grado

 

Convergente di 6° grado

 

Convergente di 7° grado

 

Convergente di 8° grado

 

Convergente di 9° grado

 

Convergente di 10° grado

 

 

 

COEFFICIENTI TRASLATE FINO AL 10° GRADO

 

 

EQUAZIONI DI 2° GRADO


A

B

 

 

 

EQUAZIONI DI 3° GRADO

A

B

C

 

 

 

EQUAZIONI DI 4° GRADO

A

B

C

D

 

 

 

EQUAZIONI DI 5° GRADO

A

B

C

D

E

 

 

 

EQUAZIONI DI 6° GRADO

A

B

C

D

E

F

 

 

 

EQUAZIONI DI 7° GRADO

A

B

C

D

E

F

G

 

 

 

EQUAZIONI DI 8° GRADO

A

B

C

D

E

F

G

H

 

 

 

EQUAZIONI DI 9° GRADO

A

B

C

D

E

F

G

H

I

 

 

 

EQUAZIONI DI 10° GRADO

A

B

C

D

E

F

G

H

I

L

 

 

 

 

 

 

 

Nicolò Giuseppe Bellia

Tarquinia 2 giugno 2007