.DIMOSTRAZIONE TEOREMA DELLE RIDOTTE
Se trasliamo una funzione primaria di grado n di un valore k uguale ad una sua radice avremo che tale funzione passerà per l’origine degli assi e di conseguenza il termine noto della traslata sarà nullo.
Se facciamo una traslazione inversa di valore –k di tale traslata avremo la funzione ridotta della primaria che contiene le altre radici diverse da k.
Lo stesso risultato si può ottenere dividendo la funzione primaria
con Ruffini per .
Con il teorema sulle ridotte è possibile ottenere più semplicemente che con Ruffini i coefficienti delle ridotte.
Tale teorema può essere espresso nella seguente maniera:
Si abbia la generica equazione di ennesimo grado nella forma:
1) 
Se k è una radice della 1), la ridotta sarà:
2) 
Con il teorema sulle ridotte è possibile calcolare direttamente il valore dei coefficienti delle ridotte con le formule:
3) 
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|
Per verificare l’esattezza della 3) iniziamo con le equazioni di 3° grado.
La generica equazione di terzo grado sia espressa nella forma:
4) 
Sia k una radice di tale equazione.
Traslando di tale valore, avremo la seguente traslata:
5) 
i cui coefficienti, per il teorema sulle traslazioni, sono:
6) 
7) 
8) 
Poiché k è una radice dell’equazione sarà necessariamente
e quindi la traslata sarà:
9) 
cioè:
10) 
Per avere la ridotta dovremo fare la traslazione inversa di valore –k
11) 
Sostituendo nella 11) la 6) e la 7) avremo:
12) 
quindi:
13) 
ossia:
14) 
Chiamando 
il
coefficiente della x e 
il termine
noto avremo:
15) 
16) 
Quindi la ridotta i cui coefficienti sono uguali a quelli previsti nella 3), cioè:
17) 
Per verificare l’esattezza della 3) proseguiamo con le equazioni di 4° grado.
La generica equazione di quarto grado è:
18) 
Sia k una radice di tale equazione.
Traslando di tale valore, avremo la seguente traslata:
19) 
i cui coefficienti, per il teorema sulle traslazioni, sono:
20) 
21) 
22) 
23) 
Poiché k è una radice dell’equazione sarà necessariamente
e quindi la traslata sarà:
24) 
cioè:
25) 
Per avere la ridotta dovremo fare la traslazione inversa di valore –k
26) 
Sostituendo nella 26) la 21), la 22) e la 23), avremo:
27)
quindi:
28)
ossia:
29)
Chiamando il
coefficiente della x e
il termine
noto, avremo:
30)
31)
Quindi la ridotta i cui coefficienti sono uguali a quelli previsti nella 3), cioè:
32) 
Le formule della 3) restano confermate anche per le equazioni di 5°, 6° e successive.
Nicolò Giuseppe Bellia
Tarquinia 25 agosto 2004
